Grandes Inventos de la Música

Grandes Inventos de la Música (I)
Hoy Presentamos: El sistema pitagórico.


Si amiguetes, hoy toca algo de cultura. Pero no se me vayan que no es dificil, y hasta puede que lo encuentren interesante. En el capítulo de hoy veremos el primer intento de racionalización de lo que luego sería conocido como "música europea contemporánea", de la mano del filósofo Pitágoras y su pasión por explicarlo todo como una relación de números enteros. Eso si, basado en escritos babilónicos y usando todo el conocimiento de la grecia clásica, no es que el hombre lo desarrollara desde cero pero algún mérito hay que darle. Empezamos!



1.- Las notas son simples instrumentos que no deben limitar ni excluir el concepto subyaciente. Pero tener medios de análisis y síntesis de notas musicales es apropiado para afinar instrumentos, publicar partituras que todo el mundo entienda y legar a la posteridad el patético nivel creativo visto en el S.XXI entre otras cosas.

2.- De lo que se trata es de encontrar un grupo de herramientas (notas) que encaje con lo que uno considera como el concepto musical preexistente. En el caso griego, su grupo generador era el tetracordo, un grupo de cuatro notas consecutivas (descendientes) siguiendo el patrón que denominamos T-T-ST donde T representa un Tono y ST un Semitono. De la diferente ordenación de estos tetracordos en grupos de dos nacen las escalas de la grecia clásica. No tiene mucho sentido pararse aquí salvo para señalar que ya eran conscientes del peligro que el trítono (T-T-T) representaba para los oidos y que desde entonces ha sido motivo de suspenso en cualquier examen de música, bajo el epígrafe de "Diabulus in musicae." O sea que tiene que haber semitonos esparcidos por ahí.

3.- Llegamos al siglo XVII con una escala muy blockbuster que, tras sufrif muchos cambios desde la escala dórica griega a los modos frígios medievales, se consolida como la vencedora de la selección natural esta de dos milenios: la Escala Mayor: T-T-ST-T-T-T-ST. formada por dos tetracordos mayores, garante de nuestra herencia helenística y apta para representar el paradigma musical de la época. ¿Pero cómo fijamos una entonación a este paradigma? Esto es lo que trataremos a continuación, pero quedaos con que una escala "mas o menos europeo-clasica-moderna de 7 notas contiene 12 semitonos por escala. Quedaos con el '12' que sale a menudo.

4- Aquí entra la relación pitagórica: Segun este sabio, la relación de vibraciones (puslaciones, batidos, hertz o como querais llamarlo) entre dos notas que esten en relación 3:2 produce un sonido altamente consonante y agradable, lo que llamaban la Quinta. (Era la primera nota del segundo tetracordo de su escala) En la simplicidad de este filósofo y su amor por los números naturales, postula que "Todas las notas pueden ser extraidas de una cadena de Quintas consecutiva" y por tanto ser generadas por la expresión (3:2)*(3:2)*(3:2)* ... o poténcia n-éssima de 3:2.



5.- Si aplicamos esta regla obtenemos, por la simple sucesión de 7 quintas, las siete notas diatónicas. No olviden, si lo hacen en casa, multiplicar o dividir arbitráriamente por 2 para reducir cualquier intérvalo a la escala de referencia. Doy por sabido que dominan el concepto de Octava o relación 2:1, que genera armónicos puros y a los que llamamos de forma homónima (osea la octava de un Re también se llama Re y permite encadenar las escalas ad libitum, o eso pensaba él)

Resultando los siguientes intérvalos:


1:1 - Unísono (0 semitonos)
3:2 - Quinta Justa (7 semitonos)
9:4 -> 9:8 - Segunda Mayor (2 semitonos = 1 Tono)
27:8 -> 27:16- Sexta Mayor (9 seminonos)
81:16 -> 81:64 - Tercera Mayor (5 seminonos)
243:32 -> 243:128 -Séptima Mayor (11 semitonos)
729:64 -> 729:512 -Cuarta Trítono (6 semitonos)

Si aplicamos lo mismo con potencias negativas de 3:2 (o potencias positivas de 2:3, o simplemente invirtiendo los resultados anteriores usando la expresión y = 2/x ya que dos intervalos complementarios deben dar una octava al multiplicar x·y=2:1) obtenemos

1:1 - Unísono
2:3 -> 4:3 Cuarta Justa (5 seminonos)
4:9 -> 16:9 - Séptima menor (10 semitonos)
8:27 -> 27:32- Tercera menor (4 semitonos)
16:81 -> 128:81 - Sexta menor (8 semitonos)
32:243-> 256:243 -Segunda menor (1 Semitono o st. Diatónico)
64:729 -> 1024:729 -Quinta menor, falsa o disminuida. (6 semitonos)

Además si comparamos dos notas qualesquiera separadas por exactamente siete quintas obtenemos la relación del semitono cromático, que resulta ser de 2187:2048. Como definición funcional, un st cr. es el que usamos para que la escala mayor tal como la hemos definido mantenga su estructura de tonos y semitonos, e.g. en Re M. usaremos Fa# i Do#, en Fa usaremos Sib en lugar de Si. En cambio el st diatónico es el que ya encontramos en toda escala diatónica (mi-fa, si-do) y entre toda nota alterada (#,b) y su superior o inferior, respectivamente, y que complementa el st. cr. para formar un tono o 2º Mayor.

NB: cada intérvalo está ligado con su inversión, de otro modo una sexta menor y una Tercera Mayor no completarían una octava y romperíamos el ciclo 2:1 ya que sumaríamos mas o menos de 12 semitonos. Un semitono diatónico es la inversión de uno cromático, pero respecto a un Tono y no a una Octava. Respecto a una octava, el st. diatónico invierte a una 7º M y el cromático a una "octava menor" o disminuida o como querais llamarle, ya que no se me ocurre su posible uso.

Puede desarrollar las 12 quintas con cualquier índice inicial, sea de -6 a +6 como en el ejemplo, de 00 a+12 o de -8 a +4 según guste. Y por supuesto puede empezar por la nota que quiera, ya que no hemos definido aún ningun punto de referencia.

Por cierto, todos son múltiplos de los dos números primos 2, 3. Pitágoras estaría orgasmando de lo lindo con este sistema.


6.- Este sistema es matemáticamente muy consistente, pero adolece de ciertos problemas. Si usted es un virtuoso del canto, toca el violín o el trombón, puede usted generar un número virtualmente infinito de notas usando este sistema de quintas. Pero si solo dispone de doce notas que deben ser afinadas de antemano ( y reprogramar el hardware de un órgano de 500 tubos le puede llevar varios años de "fontanería") entonces la selección de la nota de partida limita el color tonal del que dispone.

7.- Si usted afina desde Mib (-2 quintas) a Sol# (+10 quintas) puede tocar todo lo que guste en Do Mayor y modular a todos sus tonos vecinos sin problema. Pero si en un exceso de optimismo modula a su dominante Sol M, y luego a su relativo Mi m, descubrirá una resolución de sensible bastante deficiente (digna de un tomatazo, sin duda) y es que usted no dispone de tal nota (Re#) en sus 12 notas cromáticas, por tanto habrá sonado el Mib quedando su resolución de sensible en un semitono cromático en lugar de uno diatónico.

8.- Esta diferencia entre el semitono cromático y el diatónico es de exactamente de 531441:524288 y se denomina Coma Pitagórica, que también es exactamente la diferencia entre las doce quintas y el número entero mas próximo de octavas, que son siete, por tanto se obtiene también calculando [(3/2)^14]/[2^7] = [3^12]/[2^19]. Ops, esto se le coló al amigo Pitágoras, y es que no hay ningúna potencia de 3 que sea múltiplo entero de una potencia de 2. Así que el problema tiene difícil solución.

El hecho de que sonar una nota por uno de sus enarmónicos incluya esta coma en el intrvalo hace que éste suene desafinado, con un desagradable batido que usualmente se llama quinta del lobo o "lupus". En realidad este intérvalo puede ser cualquiera, y la palabra quinta se refiere a que la "quinta rota" de nuestra serie de Mib a Sol# seria de Sol#a Re#(==Mib), esta quinta es mas pequeña que cualquier otra (una coma pitagórica de menos para ser exacto) y por tanto, toda nota en adelante (mas de 10 quintas del DO) causará intérvalos desafinados con el Mib, ya que cruza la "quinta lupus". Este intérvalo cualquiera será una coma pitagórica mas grande, que viene a ser algo menos de un cuarto de semitono temperado. [=1200*LOG(1,01364; base 2) =23,5 cents, donde un semitono temperado (12 divisiones iguales de 2:1) son 100 cents].

9.- Esto ya hemos dicho que no es un problema en todos los instrumentos, solo los de afinación fija. En principio uno pensaría que un vocalista o un violinista puede subsanar esta irregularidad generando la nota apropiada en cada ocasión. Esto es cierto, pero con matices, si yo reafino sobre la marcha el Re# ideal para que suene Mib estoy metiendo una quinta del lobo, si distingo entre ambos podrían pasar por la misma nota "pero desafinada" a un oido mas o menos basto, segun el contexto en que se usen, la claridad i rapidez de la modulación, o simplemente chirriar por estar tocando o cantando junto a un instrumento que no puede ajustarse sobre la marcha.

Ademas hay otra flaqueza importante en el sistema. El maravilloso sistema matemático de Pitágoras genera el dítono (3ª Mayor pitagórica) que es antinaturalmente grande (si recuerdan lo dicho al punto 1, 2, no refleja con autenticidad lo que la sensibilidad musical encuentra correcta). En efecto, si desarrollamos la série armónica encontramos que genera los siguientes sonidos armónicos o concomitantes: los múltiplos de la frecuencia fundamental:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 etc

que en relación de sonidos reducidos a la octava de referencia queda como sigue. (EN azul los que coinciden con el sistema pitagórico, en Rojo los que no)


1:1, unísono
2:1 octava
3:2 quinta justa
4:4 octava

5:4 tercera Mayor (o justa)
6:4 quinta justa
7:4 Séptima (justa)
8:8 Octava
...

O sea que en la serie armónica, aparte de que aparecen números primos mas grandes que el 2, 3, nos da una tercera mas pequeña y mas agradable al oido, que por añadidura "reberbera" positivamente con la fundamental pues es su quinto armónico natural, formando lo que se conoce como el acorde tríada (Do-Mi-Sol) en los mútiplos 4,5,6. (No explicaré aquí como se obtienen estas relaciones en detalle pero fijaos que la Tercera (5:4) se forma entre los armónicos 5º y 4º eso es una buena pista que os dejo.)


Todo ello conduce a que, por la própia naturaleza del oido, la Tercera Mayor "justa" de la serie armónica (5:4) sea preferible a la propuesta pitagórica (81:64). Huelga decir que esto lleva a una sexta menor mas pequeña, y por los mismos motivos a una Sexta Mayor mas grande, y a una tercera menor mas pequeña. Además la natural búsqueda de la consonancia al tocar o cantar hace mas naturales estos números (5:4, 6:5) que sus correspondientes y aparatosos pitagóricos (128:81, 243:128). El sistema de Pitágoras estaba tocado de muerte y su rigurosa rigidez matemática no permitió una "ñapa" que arreglara la tercera Mayor sin cargarse alguna otra cosa igualmente importante.


10. Finalmente pasó lo que tenía que pasar, y es que tras unos siglos de ser una buena solución (por ser la única) este sistema cayó en desuso a favor de la entonación justa, propia del canto y basada en el sistema armónico introducido antes, y de los sistemas mesotónicos, temperados, los temperamentos irregulares del barroco (el "buen" temperamento de Bach) y finalmente los igualmente temperados que son los de referencia en muchos instrumentos actuales. Nobstante, hay muchas posibilidades de que el órgano de la iglesia mas cercana esté aún afinado con el sistema pitagórico. No olviden mencionar la "extraña amplitud de las terceras, que grandes que son, parece un dítono pitagórico" cuando acudan a la boda de un amigo, tendrán algo de que hablar mientras esperan que acabe el pase de fotos y empiece la merendola.

Eso sí, la Quinta Justa se quedó, junto con la Cuarta y la Octava. Y en el sistema igualmente temperado tenemos otros intérvalos como la séptima menor o la Seguna Mayor apenas a 4 cents de distancia, con lo que la mitad de sus intérvalos aún los podemos oir en las melodías de estos carísimos móviles con musiquita. Otro acierto del gran filósofo, matemático y teórico de la antiguedad por antonomasia.

Quod Erat Facendum

Si alguien se ha liado puede preguntar libremente, que no va en detrimento del lector sino al contrario, y en todo caso puede ganarse una prestigiosa arroba temperada contestando a la siguiente pregunta: Qué intérvalo pitagórico representa 4096:2187?

Bonustrack: tampoco ha dicho nadie que deban existir siete notas, mucha gente se apaña con cinco, como se muestra en el vídeo de despedida. Todo lo dicho se basa para lo que mayormente se llama musica moderna europea y tal.




11 comentarios:

Crowley dijo...

Amigo Becario,
he leído tu post un par de veces, que conste. El tema de las matemáticas y la música es algo que siempre me ha intrigado. De hecho, creo que las matemáticas son extrapolables a todo lo que nos rodea. No soy muy versado en música (nada, más bien) así que le he pasado el link a mi cuñada, que es profesora de música y le sacará más partido que yo.
Muy interesante.
Un saludo

MucipA dijo...

Hola, Becario!
Yo soy la cuñada en cuestión y no he dudado ni un segundo en hacerme seguidora de tu blog.
Mi problema es menor que el de los violinistas o cantantes, pues yo soy clarinetista. Creo que has explicado a la perfección la evolución del sistema pitagórico hasta llegar al sistema temperado y te felicito por ello.
Para mí la existencia de 7 notas es relativa y cuando compongo no me paro a pensar en la escala diatónica ni tampoco en la dodecafónica ni ningún otro tipo de escala, sino que experimento con la interválica que me interesa para conseguir el efecto que busco. La armonía me ha servido todos estos años para entender la evolución de la música a lo largo de los siglos, pero no para seguirla al pie de la letra.
Enhorabuena y a ver cuando te animas a explicar la atonalidad y el dodecafonismo.
Un saludo

Lucifer, Becario del Mal dijo...

Hola Crowley, en efecto negar la importancia de las matemáticas sería como negar los números o la gravedad, pero en este caso la respuesta mas simple y funcional, no funcionó. Una vez mas el arte se escapa de nustra mente racional hacia un territorio mas libre.

Hola McipA, Para mi las notas son un gran invento con muchos usos, como describir y entender el concepto de música especialmente en la enseñanza. Pero como herramientas que son, no deberían limitar lo que se puede o no se puede hacer, ni le resto valor a la escala pentatónica, ni a muchas otras. Espero hablar del resto de sistemas tonales y atonales durante el verano aunque ya te aviso que soy muuuy clásico y que prefiero Beethoven a Schoenberg.
Saludos!

MucipA dijo...

Hola de nuevo!
Lo que más me gusta del arte es que se escape de nuestra mente racional y podamos conocer sus reglas para posteriormente trasgredirlas.
No te preocupes por lo de clásico, yo valoro a Beethoven y a Schoenberg por igual. Y recibiré con alegría cualquier post sea de la época que sea porque, con tratarse de música, para mí ya es suficiente.
Saludos!

Lázaro dijo...

Aunque yo soy de letras...me encanto la clase de matemáticas y música..
saludos Becario

Dr. Quatermass dijo...

Madre mía, que te asciendan de becario a doctorado ya!

Confieso que me he perdido hacia la mitad, pero eso no evita que me lo haya pasado teta con el vídeo de McFerrin!

Saludotes.

PD: Cierto acontecimiento "musical" en mi vida puede hacerme tener que empollar sobre estos asuntos....

Lucifer, Becario del Mal dijo...

Gracias por los comentarios favorables, haré las entradas relacionadas mas cortitas para no agobiar demasiado la verdad es que me ha quedado un pelín largo..
Doctor, no me diga que le han fichado como guitarrista los Porcupine Tree?! Si necesita algún libro, pdf, etc puede que tenga algo por ahí.

redrum dijo...

Acojonante entrada y video!!! Enhorabuena!

carmen rosa dijo...

Hola ¡

Permíteme presentarme soy Ana Rosa, Periodista y fanática de las webs de cine y demás, visité tu web y está interesante. Me encantaría poner un link de tu web en mis sitios web y así mis visitas puedan visitarlo también. Si estás de acuerdo no dudes en escribirme a: rosamcgonzales@gmail.com

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Gracias, un abrazo.

Lucifer, Becario del Mal dijo...

Gracias Redrum, un placer tenerte por aquí.

Lucifer, Becario del Mal dijo...

ACTUALIZACION: he colgado una hoja de cálculo con los valores tabulados y ordenados de formas diferentes para mayor claridad. La pueden descargar libremente aquí:

https://docs.google.com/leaf?id=0B1OCTcmLEuXwNjljYmMyOGMtNzFlNi00ZjIxLTllNWItZjljMTQ1MzA2ZjU1&hl=en&authkey=CO-xofkG