Grandes Inventos de la Música (II)

La Afinación Justa o Armónica
by Lucifer.

introducción: En el último capítulo veiamos las bases del sistema Pitagórico, con sus aciertos y sus pegas, a saber:

1.- encadenando el intérvalo de Quinta Justa (3:2) podemos generar las siete notas (llamadas diatónicas) a partir de cualquiera de ellas, y ampliarlo hasta 12 notas y más. Pero no todas ellas pueden convivir simultáneamente ya que solo tenemos 12 semitonos a rellenar.

2.- Pasadas las 12 Quintas se generan los llamados enarmónicos, notas que suenan muy parecidas pero que no son la misma. Contienen una "desafinación" que hace impracticable que ciertas tonalidades convivan con otras.

3.- Este efecto también es llamado "quinta del lobo" ya que el ciclo de quintas contiene una de ellas que es mas pequeña que las quintas auténticas. Esta diferencia es la Coma Pitagórica y es la cantidad en la que los enarmónicos "desafinan". Se cuantifica mas o menos en un cuarto de semitono temperado. (un cuarto de un semitono de los que hay en el piano por ejemplo)

4.- El origen matemático de esta Coma Pitagórcia es la diferencia (cociente) entre 12 Quintas y 7 Octavas. Al ser unas poténcias de '3' y las otras poténcias de '2' no hay múltiplos comunes. El uso de los primos '2', '3' es parte de su simplicidad de concepto y parte de los problemas que acarrea.

5.- Además de este problema matemático, la Tercera Mayor, un intérvalo muy importante, suena demasiado grande y no es apropiado tanto para las composiciones melódicas como para los armónicos (acordes). Este dítono Pitagórico suena duro al oido y es poco consonante en una armonización. No encaja con el ideal de "nota musical" que el sistema pretendía reflejar.

La Justa entonación:

El sistema justo se basa en la serie armónica. Cada cuerpo que emita un tono, una frecuencia, un pulso o batido (o sonido, simplemente), genera también armónicos a múltiplos enteros de la frecuencia base. Como que el sistema de intérvalos con los que trabajamos es una relación de frecuencias, podemos ignorar la frecuencia y trabajar sólo con el número del armónico (el múltiplo n-ésimo en la serie armónica es el intérvalo n:1, la relación entre el tercer y quinto elemento de la serie armonica vale necesariamente 5:3, etc.).

Como explicamos anteriormente, el denominador lo escalamos arbitráriamente con potencias de "2" para reducir qualquier intérvalo a la octava de referencia, de modo que resulte una relación comprendida entre los valores '1' (unísono) y '2' (octava).

Desarrollando los primeros 16 elementos de la série armónica obtenemos muchas notas que coinciden con el sistema pitagórico, otras cosas que no son notas correctas y dos aportaciones muy importantes: una tercera y una séptima perfectamente resonantes.

nº armonico - intervalo - descripción

1- 1:1 unísono (id. pitagoras)
2- 2:1 octava (id. pitágoras
3- 3:2 quinta (id. pitágoras)
4- 4:4 octava (id. pitágoras
5- 5:4 Tercera Mayor (5:4) una tercera algo menor que la pitagórica 81:64
6- 6:4 quinta (6:4 == 3:2 id. pitágoras)
7- 7:4 Entre una sexta enorme y una septima diminuta
8- 8:8 octava (2:1 id. pitagoras)
9- 9:8 Segunda Mayor (9:8 id. pitagoras)
10- 10:8 Tercera Justa (5:4)
11- 11:8 entre una cuarta aumentada y una quinta disminuida, bordeando el tritono.
12- 12:8 Quinta Justa (3:2 id pitagoras)
13-13:8 una sexta muy rara
14- 14:8 una septima muy marciana como la 7:4 de antes
15- 15:8 Séptima Mayor, algo mas pequeña que una Séptima Mayor Pitagórica (243:128)
16- 16:16 Octava (id. pitagoras)

Ahora vemos la posición de los 16 sonidos en el video este: notar como algunos sonidos tienen nombres de notas pero los que estan en rojo no lo tienen:





Los armónicos 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, generan octavas, quintas y segundas exactamente igual que el sistema pitagórico. Estan basados únícamente en los números primos 2, 3, lo que los hace "compatibles" con los intérvalos pitagóricos basados en la serie 3/2. Esto reafirma los hallazgos de Pitágoras (y anteriores) sobre los intervalos fundamentales de nuestra música y la de muchas otras músicas que como la Europea, contienen la Octava, la Quinta y su inversión que es la Cuarta).

Los armónicos 7,11, 13,14, contienen los números primos 7, 11, 13, no generan una nota musical que se parezca a las que nuestro sistema aspira a tener, por tanto no tienen nombre (algunas escuelas les ponen nombres pero voy a ignorarlas).

La gran diferencia aparece con los armónicos que contienen el número primo '5': forman una Tercera Mayor algo mas pequeña y una Séptima Mayor algo mas pequeña, que sus homónimas pitagóricas. Se forman con este número primo el '5' que no está en la serie pitagórica. Esta Tercera mas pequeña resulta mas adecuada a nuestro concepto de escala que el dítono pitagórico.

Vamos a incorporar esta Tercera en lugar de la pitagórica y a propagar los cambios que implica en el sistema.

Automáticamente tenemos definida su inversión, la 6º menor de 12-4=8 semitonos con un valor de (recordamos que deben dar una octava al multiplicarse) = (2:1)/(5:4)=8:5, y análogamente al fijar la Séptima Mayor como 15:8 de 11 semitonos, la segunda menor (1 semitono ) queda fijado como (2:1)/(15:8)=16:15. Estas cuatro notas sustituyen a sus equivalente pitagóricos dejando la escala igual o mejor así que seguimos adelante.

La Quinta Justa es la misma por tanto también la Cuarta Justa, conservamos el unísono y la octava, el trítono de 6 semitonos no nos importa para nada* así que nos quedan por determinar solamente la Sexta Mayor y su inversa, la Tercera menor.

*A estas alturas ya debería ser bastante accesible que un intérvalo de 6 semitonos se complementa a si mismo para formar una octava, luego su relación interválica es "raiz de 2" o 1.41, un número irracional a medio camino entre la Cuarta Justa de 1, 33 y la Quinta Justa de 1,5 que se considera "semi-consonante", una "imperfección"ya que no es tan perfecta como las consonancias perfectas (4º, 5º, 8º) pero que atrae poderosamente al oido por su cercanía. Almenos esto es lo que dice la teoría, luego que cada cual sea consciente de lo que haga con ella.

Pues al tema, solo queda definir la pareja 6º Mayor/3º menor. La Tercera menor de 3 semitonos y la Mayor de 4 suman 7 semitonos, que es una Quinta Justa. Entonces ambas deben tener un producto igual a 3:2 con lo que la tercera menor queda (3:2)/(5:4)=6:5, con lo que la Sexta Mayor se va a los 5:3.**

** bueno en realidad ese no es el único motivo. En el sistema Pitagórico se forman acordes Perfectos Mayores (3º Mayor + 5º Justa) sobre los grados I, IV, V de cada escala. Para mantener esta relación aquí hay que forzar que el sexto grado esté exactamente a una 3º Mayor del cuarto grado, luego (4:3 )x(5:4)=5:3. Pero esto ya se va del ámbito de este artículo.

Como resultado, examinemos los intérvalos obtenidos, ordenados por sus numeradores.

1:1, 2:1, 3:2, 4:3, 5:4, 5:3, 6:5, 8:5, 9:8, 15:8, 16:9, 16:15

todos son cocientes de números enteros que se pueden formar con números primos estrictamente menores que 7, y cuyo cociente está comprendido entre 1:1 y 2:1. (y en breve aparecerán los dos que faltan para completar los primeros 12 pares de números que cumplen esta condición (no son tantos, eliminando los primos grandes y los múltiplos de los anteriores)

Pues los otros dos son los intervalos complementarios entre si (10:9) y (9:5), que es relevante porque es la relación que hay entre la tercera Mayor y la Segunda mayor (5:4)/(9:8)=10:9 y que en este sistema recibe el importante nombre de Tono Pequeño. De este modo esta docena de números forman parejas cuyos productos generan una octava (2:1), cuyas diferencias generan un tono grande (9:8) o pequeño (10:9) o un semitono (16:15). O sea que es un sistema bastante cerrado y coherente.

Observemos ahora esta relación de resonancias en un video comparativo que muestra como suenan algunos acordes: los perfectamente armónicos dibujan una pauta estable en la pantalla del analizador mientras que los demás (que aquí usamos los temperados como referencia) crean una pauta irregular, con "impurezas armónicas" que los ingenieros llaman "productos de intermodulación, batidos, ruido, etc.." y que podemos ver como hacen oscilar el equilibrio perfecto de las consonancias justas:

Seguro que habeis reconocido el preludio nº1 en Do M de Bach, aunque su "buen temperamento" lo dejo para mejor ocasión.


Pero queda el pequeño problema de que ahora tenemos dos tipos de tonos. En efecto, al forzar una Tercera Mayor mas pequeña que la pitagórica pero manteniendo la misma Segunda Mayor, resulta que nuestra Tercera se compone de un tono grande (9:8) y de un tono pequeño (10:9). Lo que nos lleva a que nuestra deseada Escala Mayor ahora tiene Tonos grandes (TG), tonos pequeños (TP) y Semitonos (ST) resultando en la secuencia:

TG-TP-ST-TG-TP-TG-ST

[y el semitono cromático que es la inversión dentro de un tono de la Segunda menor o Semitono diatónico, pues ahora hay dos, el que corresponde a la inversión de un tono grande y a la inversión de un tono pequeño, que resultan respectivamente 25:24 y 135:128]

Para mas lio, el hecho de usar una Tercera Mayor mas pequeña que la compuesta por 4 quintas hace que una de esas quintas sea también mas pequeña. (Si el tono grande es 9/8 las dos primeras quintas estan ok, (3/2) x (3/2) = 9/8, la 3º Quinta del círculo (RE-LA) es menor a la oficial (3:2) ya que contiene dos tonos pequeños en lugar de uno, concretamente mide 40/27. La diferencia entre esta quinta y la oficial vale exactamente 81/80, que es exactamente la diferencia entre un tono grande (9/8) y uno pequeño (10/9), y también la diferencia (cociente se entiende siempre) entre la Tercera pitagórica o Dítono (81/64) y el tercer armónico (5/4). Esta triple diferencia se conoce como Coma Sintónica.

Ademas y puestos a buscarle tres pies al gato, existe lo que se conoce como inversión del semitono: El semitono diatónico (16/15) es mas grande que el cromático grande (135/128) lo que no es exactamente lo buscado. Habitualmente deseamos un semitono cromático grande para que el diatónico sea pequeño y resuelta mas naturalmente a la nota superior, de forma mucho mas melódica y sencilla. Otro punto negativo.

¿Pero y que pasa con la Quinta del Lobo y la coma Pitagórica?

Pues que sigue estando ahí, aun cambiando la afinación de algunas notas, siguen estando en progresión de quintas y al cabo de 12 quintas se generan enarmónicos separados por una Coma Pitagórica. Esta Coma provoca la 12º Quinta pequeña y todos los intérvalos que la crucen son menores de lo que deberían en una coma pitagórica. Pero además hay que tener en cuenta las quintas pequeñas que genera la coma sintónica, concretamente una de cada cuatro o tres por cada doce quintas.

Estos defectos no se cancelan mútuamente, solo en parte. La coma sintónica vale "-1.0125". El déficit al llegar a la 12º Quinta es tres veces esta cantidad, al que se le debe restar el déficit que la tenía la coma pitagórica "-1,014" El resultado vale (128:125) y se llama Diesis. Este valor también es el exceso de 3 Terceras Mayores (de 4 quintas cada una) sobre una octava. De este modo la quinta del lobo de este sistema vale una quinta del lobo piagórica mas una diesis, resultando en 192/125 que se aproxima casi a medio semitono, o sea una desafinación de campeonato.

Así que después de arreglar la fealdad del dítono pitagórico, introducir terceras y séptimas resonantes y bonitas y generar todos los intervalos restantes sin que sean muy distintos de los antiguos, el sistema tiene aún menos posibilidades de modulación y portabilidad, y una quinta del lobo a medio camino de una sexta menor. Ello relega su uso a instrumentos afinables sobre la marcha, principalmente la voz humana a Capella o con instrumentos de cuerda sin trastes principalmente.

Existe otro sistema aun menos común, llamado Justo Menor, basado en ajustar no la tercera Mayor sino la tercera menor. Puesto que la tercera menor esta formada por sólo tres quintas, en un circulo de 12 hay 4 ciclos de 3 quintas que quedan reducidas. El valor de la Coma Sintónica se mantiene, pero se reduce una quinta de cada tres en lugar de una quinta de cada cuatro.

En esta variante la diesis aumenta, ahora vale 4 comas sintónicas menos una pitagórica, aumentando aún mas la quinta del lobo. Así que no mejora para nada los resultados anteriores salvo por ofrecer una alternativa que, quizá, podría ser de utilidad cuando la anterior no lo fuera. En este sistema la Diesis se llama "Diesis Mayor" para no confundirla con la del otro sistema, que ahora sería una "Diesis menor" en el sistema "Justo Mayor" por antagonismo manifiesto.

Su uso fue una mejora en el desarrollo de la música vocal renacentista, aparición de las cantatas y los primeros grupos de cámara barrocos, pero totalmente impracticable en lo que luego sería la orquesta o el concierto. Ssí que salvo las corales buenas de verdad y con repertorio antiguo es muy dificil encontrar ni instrumentos ni cantantes que no estén 'normalizados' al temperamento igual en detrimento de la justa entonación.

Pero eso casi que ya lo dejo para la próxima entrega del curso Lucifer: sistemas mesotónicos, temperamentos irregulares y el temperamento igual o mas conocido como de escala temperada.

6 comentarios:

PEPE CAHIERS dijo...

Ahora ya se porque nunca he tenido oido para la música, porque va unido a mi escasa simpatía por las matemáticas.

Lucifer, Becario del Mal dijo...

bueno el oido musical por suerte depende mas de la dedicación que de las matemáticas, mas que nada esto permite saber como sonaban las obras mas antiguas. saludos!

Mr. Lombreeze dijo...

Pepe, por eso yo toco el bajo de oído. Porque para leer y comprender los principios musicales hay que tener un mínimo de inteligencia que no poseo.

Lucifer, Becario del Mal dijo...

bueno como ya he dicho es un tema mas teórico que otra cosa, el oido musical es algo que se desarrolla con la práctica. Muchos métodos de enseñanza modernos desechan toda base teórica para que el alumno se centre en aprender a tocar, escucharse y corregirse, y no es pedir poco! Pese a ello a mi me chiflan estas cosas tan historicas y tan poco útiles.

MucipA dijo...

Una gran lección musical la que nos ofreces en este post que me ha gustado recordar.
Me han venido a la mente las clases de acústica en el conservatorio...
Muy elaborado.
Un saludo

Lucifer, Becario del Mal dijo...

Gracias Mucipa, para mi siempre es un placer recordar mis tiempos de estudiante.
Saludos!