Grandes inventos de la Música (IV)

El Temperamento Igual y el estándar de afinación.

O la Escala Temperada, que viene a ser lo mismo. Después de haber presentado los distintos sistemas antiguos de afinación hoy toca hablar de la solución actual, la mas usada desde el SXIX y práctimantente monopolística hoy en día: el sistema de temperamento igual-12.

Los sistemas mesotónicos e irregulares introducidos el último día pretendían atemperar la coma sintónica, asegurando que todas las quintas sean iguales entre si y por tanto creando un sistema mas portable y transportable a los tonos vecinos. Además el hecho de atemperar la quinta justa por un valor algo mas pequeño (aplicando un Schisma, una deriva respecto a la justa) provoca que el valor de la quinta del lobo se reduzca en la misma medida que la quinta de referencia. Pero mientras exista esta quinta mas grande existe la coma pitagórica y los enarmónicos desafinados. El temperamento igual se basa en intentar atemperar también la coma pitagórica.

El problema de la solución mesotónica es usar una quinta mas pequeña, basada en una raiz cuarta de la tercera menor, que proporciona no un cociente de números no enteros sino irracionales, mas difíciles de afinar. Si aceptamos esto como una solución practicable, pues la forma de acabar con la coma pitagórica es ahora evidente. Se trata de hacer la quinta cada vez mas pequeña, hasta conseguir que doce quintas temperadas sean exactamente 7 octavas.

De este modo, tener 12 quintas iguales que generan 7 octavas es lo mismo decir que tenemos 12 semitonos exactamente iguales. Así que no hace falta ni determinar el valor de la quinta ni buscar la raiz doceava de la coma pitagórica, es tan simple como buscar un intérvalo (semitono) que apilado exactamente 12 veces nos proporcione una octava justa.

semitono = Raiz doceava de '2' = 2^(1/12)=1,059463

Este temperamento reduce la coma pitagórica y los enarmónicos al unísono, ademas de obtener doce intérvalos equiportables a cualquier punto de la escala: una tercera Mayor de 4 semitonos es exactamente igual en todos los puntos y posiciones de todas las escalas y tonos, ya que todas las terceras Mayores tienen 4 semitonos iguales. El semitono diatónico y el cromático son exactamente iguales, el tono son dos semitonos y la octava son 12 semitonos exactos.

Así generamos las notas e intérvalos con la serie "n semitonos = 2^(n/12)". Y si lo contamos en "cents", como que los definimos a posta de forma que 12 semitonos iguales fueran 1200 cents pues evidentemente son 100 cents exactos por semitono temperado


1 semitono = 1,059 (2a menor) = 100 cents

2 semitonos = 1,122 (2º Mayor) = 200 cents

3 semitonos = 1,189 (3º menor) = 300 cents

4 semitonos = 1,260 (3º Mayor)= 400 cents

5 semitonos = 1,335 (4º Justa) = 500 cents

6 semitonos= 1,414 (4º aug/5º dis)= 600 cents

7 semitonos= 1,498 (5º Justa)= 700 cents

8 semitonos = 1,587 (6º menor)= 800 cents

9 semitonos= 1,682 (6º Mayor)=900 cents

10 semitonos= 1,782 (7º menor)= 1000 cents

11 semitonos= 1,888 (7º Mayor)= 1100 cents

12 semitonos= 2,000 (8º Justa)=1200 cents.


Así que los datos en cents dados para los otros sistemas de afinación los comparan exactamente con este, el sistema temperado igual-12 .

Habíamos definido el cent como: Cent = 1200*LOG(n,2)

si aplicamos la relación de intérvalo de 'n' -> Cent = 1200*LOG(2^(n/12))=1200*n/12=100n

o sea los 100 cents exactos por cada doceavo exacto de la octava.

La principal diferencia de este sistema con los anteriores lo vemos en los valores de la Quinta Justa y la Tercera Mayor: ambos son mas pequeños que sus valores justos, pitagóricos o mesotónicos. La quinta Justa tiene un pequeño Schisma de unos 2 cents (1,498/1,500), la Tercera Mayor (y la sexta menor) unos 14 cents apartada de la justa (y solo a 8 de distancia que las pitagóricas) y una Tercera menor (y Sexta menor) desafinada hasta 16 cents sobre la justa. Así que esta afinación supone un "retroceso" en los intentos de cuadrar las notas con el sistema justo y resonante, pero la quinta es casi la misma que la justa y no hay ninguna limitación de portabilidad.

Así que este sistema, mas que ser una evolución de los sistemas Justo o Mesotónico es una variación del sistema Pitagórico en el que la coma pitagórica se ha atemperado completamente. Y pese a que pierde las bonitas terceras y sextas, reduciendo considerablemente el margen consonante, segun nuestros estándares actuales se considera un sistema afinado ya que están todos los intérvalos dentro del margen de 20 cents, o un quinto de semitono.

Este sistema se ha impuesto como el único admisible para la afinación de instrumentos de afinación fija: teclado, instrumentos de cuerda con trastes, instrumentos de viento de longitud fija, etc, y por extensión ha influenciado notablemente a los demás. La mayoría de elementos de la orquesta se ajustan al sistema temperado, la música se aprende con un piano temperado y todos los afinadores electrónicos de cuatro duros para aficionados se basan en la escala temperada. Así que prácticamente la mayoría de músicos, cuando hablan de una Quinta o una Tercera Mayor se refieren a la temperada, salvo que se especifique o sobreentienda alguna convención diferente al respecto.

El Savart: otra definicion usual es la del Savart, que mide y que indica el máximo nivel de desafinación imperceptible. Este umbral lo estableció el señor Savart y indica que menos de eso no puede ser distinguido por un oido humano ni de un músico entrenado (salvo casos muy especiales de entrenamiento, gente con oido absoluto y otros casos, el 99% de la población no distinguiria dos tonos separados de menos de 1 Savart).

La definición estricta de Savart es: S= 1000·LOG(10, a/b) o sea el logaritmo en base 10 de la relación entre dos sonidos, multiplicado por 1000. El resultado se puede cuantificar mas rápidamente viendo que en una octava caben 300 Savart, luego un Semitono vale 25 Savart y 1 Savart vale aproximadamente 4 cent. Se usa habitualmente para hablar de diferencias entre sonidos, para los sonidos absolutos se siguie preferiendo el cent.

Aunque Savart pusiera el límite en "1S", en el caso de una situación real no controlada, fuera de laboratorio, entre distintos instrumentos y tonos muy agudos o graves, seguramente mucha gente no distinguiría hasta 4 Savart. (16 cents) Todo lo que pase de un cuarto de semitono (6 Savart) probablemente si que sería apreciado como una desafinación evidente por bastante gente. Por ello se considera que la escala temperada, que no pasa del quinto de semitono de "desafinación" respecto a los intérvalos consonantes, está afinada a 4 Savart. La máxima desafinación se encuentra, evidentemente en los enarmónicos ( la diferencia de Si# a Do por ejemplo, si afinamos respecto a Do, que es de unos 6 Savart. Aunque cada quinta posterior añada una fracción mas de desafinación, al llegar al Si#=Do la desafinación queda reducida al unísono.



La Nota central de Afinación:

Puesto que todo lo visto hasta ahora corresponde a fracciones, intérvalos y cocientes, falta un valor de referencia para que estos sistemas sean reproducibles a lo largo de todas las orquestas e instrumentos que opten por usar una misma escala. Este ajuste final, por motivos históricos, tardó bastante en llegar.

Durante la propagación de la música en su forma sacra, en templos e iglesisas, y en su forma profana en cortes y palacios, había muy poca necesidad de acordar una afinación concreta. Cada músico o cantante nuevo se adaptava al tono en que tocaban los anteriores o a la que la audiencia estaba acostumbrada, sin admitirse cambios de registro que pudieran ser malentendidos como una desafinación o falta de talento de los múscos. De este modo no sería extraño encontrar que dos pueblos vecinos tocaran con uno o hasta dos semitonos de diferencia, y entre diferentes paises hasta cinco semitonos de diferencia.

Sin haber ninguna anotación al respecto, el estudio de los diferentes órganos de la europa del S.XVII que se conservan tienen el La Central afinado entre los 380 Hz y los 480 Hz, un margen de casi una Tercera Mayor, calculado entre los órganos ingleses y alemanes. Así que no es de extrañar que los músicos de la época tuvieran problemas para adaptarse de un pais a otro.

Pero además de la diferencia comprensible entre pueblos o ciudades hay casos de auténtica competición entre los teatros de la ópera del S.XIX, italianos y austríacos, para elevar el tono deliberadamente, consiguiendo mas esplendor y lucimiento para sus estrellas. Las Divas de la ópera comienzan su andadura por los sobreagudos y prácticamente llevándose la escala musical por delante a base de "inflación" de la nota de afinación. En el XVIII en un mismo teatro (La Scala de Milán) se podían registrar cambios en el La Central de 435 Hz a 450 Hz en poco mas de una década.

Para acabar con esta anarquía, esta guerra de talentos y de frustración de músicos, la primera estandarización oficial conocida es la del Imperio Austro-húngaro, que en 1885 fija por decreto el La Central a 435 Hz. Esta comunización se aplica posteriormente a la mayoria de paises europeos y americanos, por sus correspondientes oficinas de estandarización, hasta el punto de definir también la temperatura a la que debía afinarse y las variaciones máximas permitidas. En cada pais se tomaron diversas notas de referencia pero todas muviendose bastante cerca de los 435 Hz para el La Central.

Ya en la década de 1930, en Estados Unidos se adopta por primera vez la altura de 440 Hz para todos los instrumentos. Este criterio sería seguido por muchos otros institutos de estandarización Europeos y Americanos, que así lo reflejan en sus correspondientes sistemas normativos. Este estándard A440 es el que tienen por defecto actualmente todos los instrumentos de afinación cuando salen a la venta y asegura que un instrumento nuevo sonará igual (almenos respecto a la afinación) sea el que sea el pais del mundo en el que se fabrica. Nobstante muchas de las orquestas mas prestigiosas del mundo mantienen su carácter exclusivo afinando con un criterio propio, que suele estar en los 440, 442 y 443 Hz.

Incluso con este gran consenso de dónde debe estar el La Central, aún hay paises que lo denominan La-3 mientras que otros lo llaman La-4, ya que usan sistemas de numeración de escalas diferentes. Almenos todos lo llaman La Central y hay bastante consenso de dónde está. Bueno pues con esta referencia final ya se puede multiplicar cualquier relación de cocientes por este número fijo para obtener la frecuencia de vibración de cada nota.

Con esto cierro el tema de los sistemas de afinación. Pero no bajen la guardia que me queda algún cartucho que otro..

5 comentarios:

Dr. Quatermass dijo...

Madre mía, confieso que me he perdido en el primer párrafo ya. No te tenía por estudioso del tema. Al final me he reenganchado con los 440 Hz... ¿alguien notaría una diferencia entre 440Hz o 442Hz?

Lucifer, Becario del Mal dijo...

Hola Doctor. La respuesta es No, nadie lo notaría, ya que si lo pasamos a cents con la formula explicada salen 1200*LOG(402/400,2)=4,3 cents o 1,1 Savart que es el umbral mínimo de lo que sería el 'Oido Absoluto'. Pero si suenan dos violines con esa separación la diferencia es un batido lento a 402-400= 2 Hz que si sería audible, entorno a una f central 'portadora' de 401 Hz. Es lo que se llama Oido Relativo. Sólo necesita que el primer violín atine y el resto se afinan relativamente como se muestra en el vídeo.
Saludos!
(Yo antes de ser 'becario' ya era músico, pero se aprende y disfruta mas escuchando y leyendo sobre el tema que tocando, no a menos que le consagre la vida entera)

Lucifer, Becario del Mal dijo...

by the way, todas las fórmulas de cálculo actualizadas sobre las últimas entregas estan disponibles en este link

Mr. Lombreeze dijo...

jo macho, cómo te gusta hacerme sudar...

Lucifer, Becario del Mal dijo...

Vamos vamos, por una vez que pongo un logaritmo..